신비한숫자 142857 의 비밀

독특하고 기발한 상상력으로 세계적인 베스트 셀러 프랑스 소설가 '베르나르 베르베르'의 장편 소설 '신'을 읽어 보셨나요.

그런데 소설 내용 중 142857 이라는 신비한 숫자가 소개 되어 화제가 되고 있는데요.
이 숫자는 곱하고 나누는 등 여러가지 연산을 적용해도 다시 원래의 숫자로 돌아 가는 성질이 있다고 합니다.

이 특이한 숫자 142857에 다양한 연산을 적용 시켜 보았습니다.

먼저 이 숫자에 차례대로 2, 3, 4, 5, 6 을 곱하면 아래와 같이 나오는데요.

142857X2 = 285714
142857X3 = 428571
142857X4 = 571428
142857X5 = 714285
142857X6 = 857142
142857X7 = 999999

142857을 이루고 있는 숫자가 순차적으로 배열을 바꿔 가며 답이 나오는 것입니다.
또 놀랍게도

142857에 7을 곱하면 999999라는 숫자가 나오고

142857을 제곱하면 20408122449라는 숫자가 등장하는데 이를 반으로 나눠 다시 더하면

20408+122449=142857 라는 답이 나옵니다.
어떤 형태로든 142857이 반복되고 있는 것 입니다.

이렇게 일정한 패턴의 숫자가 반복되는 수가 하나 더 있 는데요.
6539477124183을 꼽을 수 있습니다.
이 숫자 에 17을 곱한 수에 1부터 9까지 차례로 곱하면 아래와 같은 재밌는 결과가 나옵니다.

다시 142857의 숫자로 넘어가서 이 숫자의 더 특이한 점은 자릿수 별로 숫자를 쪼개서 더했을 때 나타나는 결 과 입니다.
숫자 142857을 두개로 쪼개서 더해보면 '14 2+857 = 999'이고 세개로 쪼개서 계산해 보면 14+28+ 57 = 99'이죠.
142857은 소수점 이하 어떤 자리로부터 뒤에 같은 수 가 같은 순서로 한 없이 반복되는 무한 소수라고 하는데요.

어떤 수를 7로 나누면 몫과 나머지가 나오는데 그 나 머지가 바로 142857 여섯개의 숫자로 이루어진 순환소 수인 것입니다.

예를 들어
1/7 = 0.142857142857
2/7 = 0.285714285714
3/7 = 0.428571428571

이런식으로 반복되는 것입니다.
이렇게 신기한 무한 소 수에 대해서 좀 더 알아봤습니다.

[142857은 무한 소수]
예를 들어 분수 4/7를 소수로 고치면

4/7＝0.5714285714285 …로 되는데,

이와 같이 소수점 아래의 숫자가모두는 0이 아닌 숫 자로 무한히 계속되는 소수를 말합니다.
이 무한소수에서는 소수점 이하의 숫자의 배열이 571428인 부분이 계속 반복되어 나타나는데 이와 같은 소수를 순환소수라 하고, 반복되는 부분을 순환마디라고 한다.
순환소수는 첫순환마디의 처음 숫자와 끝 숫자의 바로 위에 점을 붙여서 나타냅니다.
특히, 순환소수 중에서 4/7＝0.571428…과 같이 소수점 아래 첫자리에서부터 순환마디가 시작되는 것을 순순환소수라 하고,

1/6＝0.1666…과 같이 소수점 아래에 순환되지 않는 부분이 있는 것을 혼순환소수라고 하죠

이렇게 신기한 숫자를 베르나르는 어떻게 발견했는지 궁금하네요.
약간 어렵기도 하고 복잡하기도 하지만 오랜만에 신비한 수의 세계를 경험했는데요.
이렇게 신기한 숫자가 또 있을 것 같기도 합니다.

▲ 142857에 속한 숫자를 원형으로 배치하면 마주 보는 1과 8, 4와 5, 2와 7의 합이 9가 되는 재미있 는 성질이 있다.
최근 여섯 자리 숫자 142857이 누리꾼 사이에서 ‘이상 한 수’ ‘신비의 수’ ‘신이 만든 숫자’‘놀라운 수’라는 이름 으로 화제가 됐다.
이 수에 2나 3, 4, 5, 6을 곱하면 원래 이 수를 구성하는 6개의 숫자가 자리만 바뀔 뿐 그대로 존재한다.
또 나온 결과를 3자리씩 둘로 끊어서 더하면 모두 다 999라는 같은 값이 된다.

● 142857의 신비로운 성질

실제로 숫자 142857에 1에서 6까지의 숫자를 곱해 보자.
그리고 곱한 값을 3자리씩 끊어서 더해보자.
1에서 6까지 곱했을 때 나온 값을 자세히 보면
1, 4, 2, 8, 5, 7 이라는 숫자 6개가 자리만 바뀌었을 뿐 그대로 반복된다 는 사실을 확인할 수 있다.

하지만 7을 곱하면
142857× 7=999999가 된다.

142857×1=142857
→ 142+857=999
999=857+142
← 857142=6×142857

142857×2=285714
→ 285+714=999
999=714+285
← 714285=5×142857

142857×3=428571
→ 428+571=999
999=571+428
← 571428=4×142857

곱한 값을 3자리씩 끊어서더한 경우 모두 999가된다 는 것도 볼 수 있다.
더 자세히 살펴보면 흥미로운 점을 하나 더 발견할 수 있다.
1과 6을 곱해 3자리씩 끊어 놓 은 값을 비교해 보자.
앞뒤의 3자리 수가 서로 대칭인 것 을 확인할 수 있다.

2와 5, 3과 4를 곱해 3자리씩 끊어 놓은 값을 비교해도 마찬가지다.
더 재미있는 사실도 있다.
142857에 두 자릿수나 세 자 릿수 중 아무 수나 곱해 보자.
이렇게 해서 나온 값을 맨 뒤쪽에서부터 3자리씩 끊어서 더해 보자.
신기하게도 결 과가 모두 999가 된다는 걸 확인할 수 있다.
그런데 항상 999가 되는 것은 아니다.
예외적으로 1998이 되는 경우 가 있다.
왜 이런 차이가 나타나는 것일까?

142857 × 78 = 11,142,846
→ 11+142+846 = 999

142857 × 571 = 81,571,347
→ 81+571+347 = 999

142857 × 77 = 10,999,989
→ 10+999+989 = 1998

142857 × 966 = 137,999,862
→ 137+999+862 = 1998

77과 966을 곱한 값을 자세히보면 9가 많은 것을 확인 할 수 있다.
142857에 7을 곱하면 999999가 됐던 것 을 떠올려 보자.

그렇다. 77과 966 모두 7의 배수다. 7 의 배수를 곱할 경우에는 999의 2배인 1998이 된다.
하 지만 이 값도 999의 배수다.

네 자릿수나 자릿수가 다섯 이상인 수를 곱하면 어떨까?
이때도 999나 999의 배수 가 나오는 것을 확인할 수 있다.

흥미롭게도 142857을 2자리씩 끊어서 더하면 14+28+ 57=99가 된다는 사실도 알 수 있다.
또 142857을 제곱 하면 ‘20408122449’라는 수가 나오는데,
이를 둘로 끊 어서 더하면 원래의 수가 나온다.
즉 20408+122449= 142857이다.

● 142857의 비밀은 순환소수

그런데 142857은 왜 이런 특성을 보이는 걸까?
14285 7의 비밀을 간단하게만 소개하면 분수, 더 정확하게는 순환소수에서 찾을 수 있다.
142857이 신기한 수임에는 틀림없다. 하지만 이 수의 비밀을 안다면 이보다 다른 수에
더 관심을 가질지 모른 다.

 142857처럼 ‘수의 마술’을 펼칠 수 있는 새로운 수 를 찾을 수 있기 때문이다.
이렇게 찾아낸 18자리 수인 052631578947368421 는 142857보다 더 재미있는 특성이 있다.

바로 가로, 세 로, 대각선의 합이81인 완벽한 마방진을 이룬다.
1428 57이 가로와 세로의 합이 27로 같지만 대각선의 합이 다른 ‘불완전 마방진’을 만드는 것과는 다르다.
142857 보다 더 신비로운 수인 셈이다.

수학동아 8월호는 142857의 비밀과 원리, 142857보 다 더 신비로운 18자리 수인 052631578947368421, 자신만의 신비로운 수를 찾을 수 있는 방법 등을 자세하게 소개하고 있다.

기사출처 : 2011.08.07
동아사이언스 (수학동아 8월호)